定义在R上的非零函数f（x）对于任意实数m，n总有f（m+n）=f（m）•f（n...

Question

定义在R上的非零函数f（x）对于任意实数m，n总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x ）＜1． （1）试求f（0）的值； （2）求证：f（x）的值恒为正； （3）判断f（x）的单调性并证明结论．

Answer 1

解：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
又∵当x＞0时，0＜f（x
）＜1，
∴0＜f（1）＜1，
故f（0）=1，
证明：（2）当x＞0时，0＜f（x
）＜1，
当x=0时，f（0）=1，
当x＜0时，-x＞0，
f（x+（-x））=f（0）=f（x）•f（-x），
故f（x
）＞1，
综上所述：f（x）＞0恒成立，
故f（x）的值恒为正；
（3）解：当x＜0时，-x＞0，则0＜f（-x）＜1⇒f（x）=1f(-x)＞0，
即对任意x∈R都有f（x）＞0，
对于任意x1＞x2，f(x1)f(x2)=f（x1-x2）＜1⇒f（x1）＜f（x2），
即f（x）在R上为减函数．