定义在R上的非零函数f(x)对于任意实数m,n,

Question

定义在R上的非零函数f(x)对于任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)*f（n），且当x>0时,0<f(x)<1 判断f（x）的单调性并证明你的结论.

Answer 1

首先令n=0，得：f(m)=f(m)*f(0)，所以f(0)=1；
令n=-m，得：f(0)=f(m)*f(-m)=1，
若m>0，则-m<0，且由题知0<f(m)<1，所以：f(-m)=1/f(m)>1；
即x<0时，f(x)>1；
也就是说f(x)则R上恒大于0；
令x1<x2，则x2-x1>0，因为x>0时，0<f(x)<1，所以：0<f(x2-x1)<1；
x2=(x2-x1)+x1
所以：f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)*f(x1)
所以f(x2)/f(x1)=f(x2-x1)，因为0<f(x2-x1)<1；
所以0<f(x2)/f(x1)<1，
因为f(x)恒大于0，所以0<f(x2)<f(x1)；
即证得：x1<x2时，f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上是单调递减的；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f(x)是R上的单调减函数。
证明：取m==0，n=1，得f(1)=f(0)×f(1)，由条件知，f(1)>0，
∴f(0)=1，x>0
任取x₁，x₂∈R，且x₁>x₂，
则f(x₁)=f[x₂+(x₁-x₂)]=f(x₂)×f(x₁-x₂)，
∵x₁-x₂>0，∴0<f(x₁-x₂)<1，
又当x<0时，-x>0，∴1=f(x-x)=f(x)×f(-x)，
∵f(-x)>0，∴f(x)>0，从而f(x)>0对任意实数x都成立，
故f(x₁)=f(x₂)×f(x₁-x₂)<f(x₂)，即f(x)是R上的单调减函数。