一道立体几何题[用向量法]

Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE
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Answer 1

解：

如图，建立空间直角坐标系

设正方体的棱长为1

则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，E(1/2，1，0)

设点P的坐标为(0，1，a)

∴向量A1B1＝(0，1，0)，向量A1P＝(－1，1，a－1)，向量DE＝(1/2，1，0)，向量DC1＝(0，1，1)

设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)

则有：

{n1•A1B1＝0

{n1•A1P＝0

即有：

{y1＝0

{－x1＋y1＋(a－1)z1＝0

令z1＝1，得x1＝a－1

∴平面A1B1P的一个法向量为n1＝(a－1，0，1)

设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)

则有：

{n2•DE＝0

{n2•DC1＝0

即有：

{1/2x2＋y2＝0

{y2＋z2＝0

∴x2＝－2y2，z2＝－y2

取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1

∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－1)

∵平面A1B1P⊥平面C1DE

∴n1⊥n2

即n1•n2＝0

=>－2(a－1)－1＝0

解得a＝1/2

故当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE

参考资料：http://hi.baidu.com/wy070135/album/item/f75e7b2142a7d9330d22683ead4bd11371f001ec.html#