高中数学题求详解，一道立体几何题，(2)用向量法怎么做？整体思路是？此题难度如何？

Question

如题所述

Answer 1

解析：∵一几何体，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AA1//DD1//CC1//BE，AA1=DD1=CC1=AB，D1E⊥面D1AC，AA1⊥底面ABCD

∴AC⊥BD交于O，过O作OZ⊥底面ABCD

建立以O为原点，以OA方向为X轴，以OD方向为Y轴，以OZ方向为Z轴正方向的空间直角坐标系O-xyz

设AB=2

则点坐标：O(0,0,0)，A(√3,0,0)，B(0,-1,0)，C(-√3,0,0)，D(0,1,0)，A1(√3,0,2)，C1(-√3,0,1)，D1(0,1,2)，E(0,-1,z)

(1)向量ED1=(0,2,2-z)，向量CA=(2√3,0,0)，向量D1A=(√3,-1,-2)

∵D1E⊥面D1AC，∴向量ED1*CA=0；向量ED1*D1A=0==>-2-2(2-z)=0==>z=3；

∴E(0,-1,3)

∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，D1O=√(DO^2+DD1^2)=√5

∵EA=EC，∴EO⊥AC，EO=√(BO^2+BE^2)=√10

|向量ED1|=√5

由余弦定理cos∠EOD1=(OE^2+OD1^2-ED1^2)/(2OE*OD1)=√2/2

∴二面角D1-AC-E的大小为45°;

(2)假设D1E上存在一点P，使得A1P//面EAC

令D1P/PE=λ

∴向量D1P=λ向量PE=λ向量(D1E-D1P)

由定比分点坐标可知P(0,(1-λ)/(1+λ),(2+3λ)/(1+λ))

∴向量D1P=(0,-2λ/(1+λ),λ/(1+λ))

∴向量A1P=(-√3,(1-λ)/(1+λ),λ/(1+λ))

向量EA=(√3,1,-3)，向量EC=(-√3,1,-3)

设向量m=(x,y,z)是面EAC的一个法向量

向量EA*m=√3x+y-3z=0

向量EC*m=-√3x+y-3z=0

令z=1，得向量m=(0,3,1)

∵A1P∥平面EAC，∴向量A1P⊥向量m

∴向量A1P*向量m=0+3(1-λ)/(1+λ)+λ/(1+λ)=0

∴λ=3/2

∴存在一点P，使得A1P∥平面EAC，此时D1P/PE=3/2