【数学分析】证明：lim<n→∞>∫<0,π/2> (sin(x))^n = 0.

Question

书中强调，若运用中值定理，则应该有ξ_n→π/2
并且最后说明若对于0<a_n<1，则不能得出lim<n→∞>(a_n)^n=0的结论
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问题：
①ξ_n→π/2如何来的？
②a_n的反例？

Answer 1

你说的书上内容 指的就是 @雾光之森 所贴的图片吗？如果是的话，那么上面有个错误：

在积分中值定理那里，不应该有极限号！！！

书上的意思是说ξ_n是个随n变换的量，并非是介于0到1之间的【常数】。如果ξ_n是随着n趋于π/2的话，那么是未定型积分，不一定等于0。这句话不是指【若运用中值定理，则应该有ξ_n→π/2】。

a_n的反例？书上不是已经给了吗：a_n = n/(n+1)。

这题的一个证明如下。其中用到了Stirling公式：

证明过程：

Answer 2

用积分中值定理来证确实有问题，因为这个ξ并不是一个常数，应该叫ξ（n），因为n变了，ξ也会随着变
自然的想法是算此定积分的表达式，此思路没问题，结果是(n-1)!!/n!!, （用分部积分做，得出一个递推规律，仔细点做能做出来的，或者直接查阅任何一本教科书）
阶乘趋于无穷的阶是很难估计的，那么就用Wallis公式（可自行百度），可直接得出结论
但如果没学过Wallis公式也能强行把这个阶乘估计出来，分情况看n奇偶：
如果n=2m，则 (2m-1)!!/(2m)!!<1/(2m+1)^1/2 (用数学归纳法易证）
如果n=2m+1，则（2m）!!/(2m+1)!!<1/(2m+2)^1/2 (用数学归纳法易证)
以上不等式的右边显然是无穷小量，再用夹逼定理便可得出结论
数学分析里各种诡异的恒等变换和各种花式不等式放缩技巧是要靠做题练出来的，
而且做完后要总结，提炼，反思有没有更好的方法，这样才有效果
另外一种更优美的证法：
分2段积分：
第一段∫<0，（π/2）-ε>，第二段∫<（π/2）-ε,π/2>,
第一段用（π/2）-ε代替x，就放大了，第二段用π/2代替x，也放大了，
至于为什么要这么估计你用在线函数图像生成器一看便知，就是利用矩形面积大于曲线下的面积）
放大之后明显2个都是无穷小量，就证完了

Answer 3

追问

太谢谢啦，但我怎么证明ξ_n→π/2呢，虽然由图像容易见得，但如何证明？

追答

下面网友的解答已经非常详细了。

Answer 4