数学分析 数列收敛题一道

Question

xn>0，∑xn(从1到n)收敛，问是否有lim(n*xn)=0（n→∞）（n倍的xn）？是的话证明之，不一定的话举出反例。 关键是过程 谢谢 数学分析期末考试的一道题
2011courage虽然发的图片 但是内容是leitingok先发的 谢谢两位
敢问leitingok是否是去duadaa网上把我的问题重复了一遍？

Answer 1

楼上两个证明是错的，反例见参考资料

参考资料：http://www.duodaa.com/view.aspx?id=318

Answer 2

使用反证法

假设lim(n*xn)在n→∞时不为零，
不妨设存在M>0，使lim(n*xn)>M（n→∞），则有lim(xn)>M/n（n→∞），
由于∑M/n=M*（∑1/n），这是一个调和级数，是发散的
所以推出∑xn发散，故假设不成立
因而lim(n*xn)=0（n→∞）成立

Answer 3

是。
证明：，∑xn(从1到n)收敛，所以f（x）=xn是单调递减函数
又f（x）>0
当n→∞时，f（x）→o，即xn→0.
所以lim(n*xn)=0

Answer 4

发的是图片。