由复合函数求原函数

Question

由复合函数求原函数
如：f(sinx)=x
令u=sinx,x=acrsinu,
f(sinx)=f(u)=acrsinu
所以 f(x)=acrsinx

1这种题会做，但我想请教一下，这样做的理论依据是什么？为啥要这么做？

2所有的复合函数求原函数都能做出来吗？
还是有一些能做出来，有一些不能？那么满足什么条件的这样的题能做出来呢？

谢谢
1

Answer 1

1、这与函数的定义有关，两个函数是否是同一个函数(即相等)，只看对应关系(在这道题目里就是f)以及定义域就可以了(值域可以不管，因为对应关系和定义域一旦确定，则值域也就确定了)。

2、这样只适用于比较简单的情况，一般在考试和教材中的都属于这种情况，
而对于较复杂的，比如f(x^5+sinx-lnx)=x，这题目简直就无从下手

Answer 2

根据的是反函数存在定理，（也就是我们说的单值函数，虽然sinx不是单值函数，但我们只取它的一支）。不一定所有函数都能求出原函数，现在很多都求不出来。