在一元的情况下,可导=可微->连续,可导一定连续,反之不一定。二元就不满足了在二元的情况下,偏导数存在且连续,函数可微,函数连续;偏导数不存在,函数不可微,函数不一定连续。
函数可微,偏导数存在,函数连续;函数不可微,偏导数不一定存在,函数不一定连续。函数连续,偏导数不一定存在,函数不一定可微;函数不连续,偏导数不一定存在,函数不可微。
在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。
在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。
偏导数的表示符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。