设函数f(x)在[0,1]上可导，且0<f(x)<1，证明： (1)在(0,1)内有唯一点，令f(§)=§ (2)又若f'(x)不等于1

Question

设函数f(x)在[0,1]上可导，且0<f(x)<1，证明：
(1)在(0,1)内有唯一点，令f(§)=§
(2)又若f'(x)不等于1，x∈(0,1),如上§唯一存在

Answer 1

(1)

也就是要证明h(x)=f(x)-x在(0,1)内存在零点。先看存在性：
h(0)=f(0)>0，h(1)=f(1)-1<0，可以知道h(x)在(0,1)内有零点§，也就是h(§)=0，或者f(§)=§。

想想看：“f(x)是连续函数”这个条件用在了哪里？

但是，要证明唯一性，条件还不充分，举个反例：
这个题实际上是要说明曲线y=f(x)与y=x在(0,1)内一定相交，交点未必唯一。反例可以自己想想。

(2)
这里又增加了“f'(x)不等于1”这一条件，这样交点就唯一了，也就是唯一性：
唯一性一般用反正，假设还有一个点§2（不等于§）也使得f(§2)=§2，那么就表明函数h(x)=f(x)-x在(0,1)内有两个不同的零点§和§2，根据洛尔定理在这两个零点之间就有一个点§3使得h'(§3)=0，也就是说0=h'(§3)=f'(§3)-1，因此f'(§3)=1，与所给条件矛盾。

想想看：点§3在(0,1)内吗，为什么？来自：求助得到的回答

Answer 2

你这道题是少条件还是哪个地方打错了吧，我们可以举反例，你令f（x）=x^2,满足已知条件，而在（0,1）内都有f（x）<x