若f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0,f（1/2）=1,证明

Question

若f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0,f（1/2）=1,证明:在（0，1）内至少有一点§，使f'（§）=1。

Answer 1

构造函数g(x)=f(x)-x，那么g(0)=0, g(1/2)=1/2, g(1)=-1, 所以存在0<§<1使得g(x)在x=§处有最大值，此时g'（§）=0，也就是f'（§）=1。

Answer 2

构造函数g(x)=f(x)-x,则g(0)=f(0)-0=0,g(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0,g(1)=f(1)-1=-1<0

对函数g(x)，考虑区间[1/2,1]，显然在该区间上连续，且左右端点函数值符号相反，因此在(0,1/2)内至少存在一点x0使g(x0)=0.
再对函数g(x),考虑区间[0，x0]，显然在该闭区间上连续，对(0,x0)内可导，且在两上端点处函数值相等，由罗尔定理可知在(0,x0）内至少存在一点x1，使得g'(x1)=0. 而g'(x1)=f'(x1)-1,即至少存在一点x1属于(0,1)，使f'(x1)=1