已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾

Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾斜角为π3的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（1）求⊙M和抛物线C的方程；（2）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

解答：（1）解：因为

p

2

=OA?cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x
设⊙M的半径为r，则r=

OB

2

×

1

cos60°

＝2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4；
（2）证明：以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦
设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5
从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*）
因为x=

2

3

，y=0一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（

2

3

，0）．