用数学归纳法证明不等式 1+1/2+1/3+...+1/2n-1小于n(n小于等于2,)的过程中当由n=k变到n=k+1时左边增加多

Question

如题所述

Answer 1

设n=k时 1+1/2+1/3+...+1/2^(k-1）<k 成 立，则n=k+1时有

1+1/2+1/3+...+1/（2^(k-1）+1/2^k+……+1/(2^(k+1)-1)
<k+1/2^k+……+1/(2^(k+1)-1)<k+(1/2^k)*(2^(k+1)-1-2^k+1)
=k+(1/2^k)*2^k=k+1
命题亦成立。
即命题对任意n属于自然数都成立

Answer 2

1+1/2+1/3+……+1/(2n-3)+1/(2n-2)+1/2n-1小于n(n小于等于2,)
n=k时
1+ 1/2+1/3+……+1/(2k-3)+1/(2k-2)+1/(2k-1)小于k
n=k+1时
1+1/2+1/3 +……+1/(2k-3)+1/(2k-2)+1/(2k-1)+1/(2k)+1/(2k+1)小于k+1
已经对应好了剩下的步骤书上有摸版

Answer 3

1/2k+1/(2k+1)追问

求过程

追答

根据之前的假设，当n=k时，1+1/2+1/3+...+1/2k-1＜k成立，所以有1+1/2+1/3+...+1/2k-1+1/2k+1/(2k+1)＜k+1/2k+1/(2k+1)，将k+1/2k+1/(2k+1)通分，得到（4k³+2k²+4k+1）/（4k²+2k），（4k³+2k²+4k+1）/（4k²+2k）＜（4k³+6k²+2k）/（4k²+2k）=k+1（→可以证明）∴1+1/2+1/3+...+1/2k-1+1/2k+1/(2k+1)＜k+1，得证。