求解函数在约束条件下的最值，先利用拉格朗日乘数法求条件极值，再求其最值．
追问求极值 不是求最值
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第1个回答 2020-04-19
设u=x+y,则xy=M/z<=u^2/4,
由x+y+z=0得z=-u,
-1=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=2(xy+yz+zx)=2(M/z+uz)<=2(u^2/4-u^2)=(-3/2)u^2,
所以u^2<=2/3,
-√6/3<=u<=√6/3，
由x^2+y^2+z^2=1得(x+y)^2-2xy+z^2=1,把以上的式子代入得
u^2+2M/u+u^2=1,
2M/u=1-2u^2,
M=(u-2u^3)/2，
M'=(1-6u^2)/2=-3(u-1/√6)(u+1/√6），
-1/√6<u<1/√6时M'>0,M是增函数，
M极小值=M(-1/√6)=-√6/18，
M极大值=M(1/√6)=√6/18，
M(-√6/3)=√6/18，
M(√6/3)=-√6/18.
所以M的最大值是√6/18，最小值是-√6/18.
仅供参考。追问
由x+y+z=0得z=-u,
-1=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=2(xy+yz+zx)=2(M/z+uz)<=2(u^2/4-u^2)=(-3/2)u^2,
所以u^2<=2/3,
-√6/3<=u<=√6/3，
由x^2+y^2+z^2=1得(x+y)^2-2xy+z^2=1,把以上的式子代入得
u^2+2M/u+u^2=1,
2M/u=1-2u^2,
M=(u-2u^3)/2，
M'=(1-6u^2)/2=-3(u-1/√6)(u+1/√6），
-1/√6<u<1/√6时M'>0,M是增函数，
M极小值=M(-1/√6)=-√6/18，
M极大值=M(1/√6)=√6/18，
M(-√6/3)=√6/18，
M(√6/3)=-√6/18.
所以M的最大值是√6/18，最小值是-√6/18.
仅供参考。追问
求极值 不是求最值
本回答被网友采纳第2个回答 2020-04-19
详细过程如图rt……希望能帮到你解决问题
最后变成一个方程组轮换式……
追问求极值不是求最值
追答是极值啊？偏导数等于0的点？有什么问题吗？
它是一个三维立体的极值点，点的话很多，但是极值有两个，可能写的有的小错误，不能说是max值和min值，抱歉，这个下标改一下
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