高数多元函数的极值及其求法

Question

如题所述

Answer 1

例如：

已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值。用多元函数求最值，则过程如下：

设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),

分别对参数求偏导数得：

Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,

Fλ=2/x+1/y-1。

令Fx=Fy=Fλ=0,则：

x^2=2λ, y^2=1λ,

x=√2λ,y=√λ。

代入得方程：

√2/√λ+1/√λ=1,

√λ=(√2+1),

则：x+y的最大值

=(√2+1)*√λ

=(√2+1)^2

=3+2√2。

图解如下图所示;