已知函数f(x)=（a的x次方）+(1/a的x次方-1)，a>0,a不等于1,求函数的值域和单调性

Question

过程哦，快一点，谢谢啦哈，呵呵

Answer 1

把f看作复合函数g(h(x))，其中

h(x) = a^x -1

g(y) = y + (1/y) + 1

明显地，h的值域是(-1,+oo)。而由定义可以直接验证，g在(-1,0)和(0,1)上分别单调减，在(1,+oo)上单调增，因此，g在该区间上的值域是(-oo,-1)U[3,+oo)，这也是f的值域。

然后，根据g的单调性，当h(x)取值于相应的区间内时，f具有同样的单调性。它们分别对应于a^x取值于(0,1)、(1,2)以及(2,+oo)内。另一方面，当a<1，h单调减，当a>1，h单调增。于是：

当a<1：f在(0,+oo)、(log2/loga,0)内分别单调增，在(-oo,log2/loga)内单调减；

当a>1：f在(-oo,0)、(0,log2/loga)内分别单调减，在(log2/loga,+oo)内单调增

其中log是自然对数