1、[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]
=[( ax1²+x1)+( ax2²+x2)]/2 - {a[(x1+x2)/2]²+ (x1+x2)/2}
=(ax1²+ ax2²)/2 - a(x1+x2)²/4
=(a/4)*[(2x1²+ 2x2²) - (x1+x2)²]
=(a/4)*(x1²+ x2²-2x1x2)
=(a/4)*(x1-x2)²
可见：
若a>0，则上式≥0，也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2]≥0，所以f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]
若a<0，则上式≤0，也即[f(x1)+f(x2)]/2 - f[(x1+x2)/2] ≤0，所以f(x1)+f(x2)]/2≤f[(x1+x2)/2]
2、依题意|f(x)|≤1，-1≤f(x)≤1
若a>0，则f(x)表示开口向上的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)<0，
函数在[0，1]上是增函数，所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意得a+1≤1，解出a<0，与前面的假设a>0相矛盾，所以不符题意。
所以只有a<0
则f(x)表示开口向下的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)>0，需要分情况讨论：
①若对称轴在区间[0，1]内部偏左，此时0<-1/(2a)≤1/2，即a≤-1，
函数在[0，1]上先增后减，在x=1时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(1)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即a+1≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1且a+1≥-1，
解上面的不等式组并结合a≤-1得
-2≤a≤-1。
②若对称轴在区间[0，1]内部偏右，此时1/2<-1/(2a)<1，即-1<a<-1/2，
函数在[0，1]上先增后减，在x=0时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即0≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1，解之并结合-1<a<-1/2得
-1<a<-1/2。
③若对称轴在区间[0，1]外，此时-1/(2a) ≥1，即-1/2≤a<0，
函数在[0，1]上单调递增，在x=0时取得最小值，在x=1时取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意-1≤f(x)≤1，所以
a+1≤1，结合-1/2≤a<0解之得
-1/2≤a<0。
①②③取并集得到a的取值范围为
2≤a<0