已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任何x∈[0,1],｜f(x)｜<=1成立，试求实数a的取值范围

Question

过程阐述一下

Answer 1

依题意|f(x)|≤1，-1≤f(x)≤1
若a>0，则f(x)表示开口向上的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)<0，
函数在[0，1]上是增函数，所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意得a+1≤1，解出a<0，与前面的假设a>0相矛盾，所以不符题意。

所以只有a<0

则f(x)表示开口向下的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)>0，需要分情况讨论：

①若对称轴在区间[0，1]内部偏左，此时0<-1/(2a)≤1/2，即a≤-1，
函数在[0，1]上先增后减，在x=1时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(1)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即a+1≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1且a+1≥-1，
解上面的不等式组并结合a≤-1得
-2≤a≤-1。

②若对称轴在区间[0，1]内部偏右，此时1/2<-1/(2a)<1，即-1<a<-1/2，
函数在[0，1]上先增后减，在x=0时取得最小值，在对称轴处取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即0≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以
-1/(4a)≤1，解之并结合-1<a<-1/2得
-1<a<-1/2。

③若对称轴在区间[0，1]外，此时-1/(2a) ≥1，即-1/2≤a<0，
函数在[0，1]上单调递增，在x=0时取得最小值，在x=1时取得最大值，
所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意-1≤f(x)≤1，所以
a+1≤1，结合-1/2≤a<0解之得
-1/2≤a<0。

①②③取并集得到a的取值范围为
2≤a<0

Answer 2

y = x^2 a + x 0<x<1 ,-1<y<1所以y是关于a的一次函数，斜率k=x^2 属于（0，1）当x=0， y=0 属于（-1，1），所以 x 属于 R当x =1 ，y = a+1 所于 -1<a+1 <1 , -2 <a<0所以 -2 <a<0

Answer 3

|f(0)|=|a*0�0�5-0|=0≤1-1≤f(1)=a*1�0�5+1=a+1≤1，-2≤a≤0设0≤x=-1/（2a）≤1，a≤-1/2，-1≤f(-1/(2a))=a[-1/(2a)]�0�5+[-1/(2a)]=-1/(4a)≤1，a≤-1/4∴-2≤a≤-1/2

Answer 4

2≤a<0