拉格朗日乘数法如何求解函数极值？

Question

如题所述

Answer 1

对于函数 z = x^2 + y^2 在条件 (x/a) + (y/b) = 1 下求极值，可以使用拉格朗日乘数法。
首先，我们定义拉格朗日函数 L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ((x/a) + (y/b) - 1)。其中，λ为拉格朗日乘子。
求解极值的步骤如下：
1. 计算 L 对 x 的偏导数，并令其等于零：
∂L/∂x = 2x + λ/a = 0
2. 计算 L 对 y 的偏导数，并令其等于零：
∂L/∂y = 2y + λ/b = 0
3. 计算 L 对 λ 的偏导数，并令其等于零：
∂L/∂λ = (x/a) + (y/b) - 1 = 0
4. 解上述方程组，得到 x、y 和 λ 的值。
5. 将求得的 x、y 和 λ 的值代入原始函数 z = x^2 + y^2 中，得到极值。
请注意，根据条件 (x/a) + (y/b) = 1，可能存在极值点、鞍点或无极值点，需要通过计算得出确切结果。