已知数列{a n }是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n 是其前n项的和，a 1 ，2a 7 ，3a 4 成等差数列．

Question

已知数列{a n }是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n 是其前n项的和，a 1 ，2a 7 ，3a 4 成等差数列．（I）证明12S 3 ，S 6 ，S 12 ﹣S 6 成等比数列；（II）求和T n =a 1 +2a 4 +3a 7 +…+na3 n﹣2 ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a 1 ，2a 7 ，3a 4 成等差数列， 得4a 7 =a 1 +3a 4 ，即4aq 6 =a+3aq 3 ． 变形得（4q 3 +1）（q 3 ﹣1）=0， 又∵公比q不等于1 所以4q 3 +1=0 由 得 所以12S 3 ，S 6 ，S 12 ﹣S 6 成等比数列． （Ⅱ）解：T n =a 1 +2a 4 +3a 7 ++na 3n﹣2 =a+2aq 3 +3aq 6 ++naq 3（n﹣1 ）． 即 ① ①× 得： = 所以