第1个回答 2007-09-20
1. （05年广东卷）已知数列 满足 ， ， …．若 ，则(B)
（A） （B）3（C）4（D）5
2. （05年福建卷）3．已知等差数列 中， 的值是 （ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3. （05年湖南卷）已知数列 满足 ，则 = （B ）
A．0 B． C． D．
4. （05年湖南卷）已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则
= （C）
A．2 B． C．1 D．
5. （05年湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
6. （05年江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C )
( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (05年全国卷II) 如果数列 是等差数列，则(B )
(A) (B) (C) (D)
8. (05年全国卷II) 11如果 为各项都大于零的等差数列，公差 ，则(B)
(A) (B) (C) (D)
9. （05年山东卷） 是首项 =1，公差为 =3的等差数列，如果 =2005，则序号 等于(C )
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
10. （05年上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3
一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2
i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3
是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1
的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2
3 2 1
[答]( C )
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （05年浙江卷） ＝( C )
(A) 2 (B) 4 (C) (D)0
12. (05年重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)
(A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 7。
13、（04年浙江文理(3)） 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 =
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
14、（04年全国卷四文理6）．等差数列 中， ，则此数列前20项和等于
A．160 B．180 C．200 D．220
15、（04年全国三文（4））等比数列 中 ，则 的前4项和为
A. 81 B. 120 C. 125 D. 192
16、（04年天津卷理8.） 已知数列 ，那么“对任意的 ，点 都在直线 上”是“ 为等差数列”的
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
17、（04年全国卷三理⑶）设数列 是等差数列， ，Sn是数列 的前n项和，则（ ）
A.S4＜S5 B.S4＝S5 C.S6＜S5 D.S6＝S5
18．（2003天津文）5．等差数列 （ C ）
A．48 B．49 C．50 D．51
19．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且 则 是 （ B ）
（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列
（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
20、（04年湖北卷理8文9）．已知数列{ }的前n项和 其中a、b是非零常数，则存在数列{ }、{ }使得（ ）
A． 为等差数列，{ }为等比数列
B． 和{ }都为等差数列
C． 为等差数列，{ }都为等比数列
D． 和{ }都为等比数列
21、（04年重庆卷理9）． 若数列 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是：（ ）
A 4005 B 4006 C 4007 D 4008
二、填空题
1、（05年广东卷）
设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用 表示这n条直线交点的个数，则 _____5________；当n＞4时， ＝__ ___________．
2、. （05年北京卷）已知n次多项式 ,
如果在一种算法中，计算 （k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算 的值共需要 n(n＋3) 次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法： （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算 的值共需要6次运算，计算 的
值共需要 2n 次运算．
3. （05年湖北卷）设等比数列 的公比为q，前n项和为S¬n，若Sn+1,S¬n，Sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .
4. (05年全国卷II) 在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______216 __．
5. （05年山东卷）
6. （05年上海）12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =_-1080_________。
7、计算： =_3 _________。
8. （05年天津卷）设 ,则
9、 （05年天津卷）在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 ，
则 =_2600_ ___.
10. (05年重庆卷) = -3 .
11、（04年上海卷理12） 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.（①、④）
12（04年江苏卷15）.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= (对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是__2
13（04年北京文理（14））定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___，且（文：这个数列的前21项和 的值为_____）（理：这个数列的前n项和 的计算公式为__（ 3 ；（文：52）理：当n为偶数时， ；当n为奇数时， ）
三、解答题
1.（05年北京卷）
设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,
记 ，n＝＝l，2，3，…•．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）求 ．
解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；
（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,
所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),
猜想：{bn}是公比为 的等比数列•
证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列•
（III） .
2.（05年北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1， ，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II） 的值.
解：（I）由a1=1， ，n=1，2，3，……，得
， ， ，
由 （n≥2），得 （n≥2），
又a2= ，所以an= (n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为 ；
（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为n的等比数列，∴ =
3．（05年福建卷）
已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解：（Ⅰ）由题设
（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
4. （05年福建卷）已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：
（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；
（Ⅱ）设数列{bn¬}满足b1=－1, bn+1= ，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；
（Ⅲ）若 ，求a的取值范围.
（I）解法一：
故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}
5. （05年湖北卷）设数列 的前n项和为Sn=2n2， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和Tn.
解：（1）：当
故{an}的通项公式为 的等差数列.
设{bn}的通项公式为
故
（II）
两式相减得
6. （05年湖北卷）已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有
解：（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
7. （05年湖南卷）已知数列 为等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明
（I）解：设等差数列 的公差为d.
由 即d=1.
所以 即
（II）证明因为 ，
所以
8. （05年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不
要求证明）
（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
9. （05年江苏卷）设数列｛an｝的前项和为 ,已知a1=1, a2=6, a3=11,且 , 其中A,B为常数.
(Ⅰ)求A与B的值;
(Ⅱ)证明数列｛an｝为等差数列;
(Ⅲ)证明不等式 .
解：(Ⅰ)由 ， ， ，得 ， ， ．
把 分别代入 ，得
解得， ， ．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，即
， ①
又 ． ②
②-①得， ，
即 ． ③
又 ． ④
④-③得， ，
∴ ，
∴ ，又 ，
因此，数列 是首项为1，公差为5的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ．考虑
．
．
∴ ．
即 ，∴ ．
因此， ．
10. （05年辽宁卷）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足
（Ⅰ）用数学归纳法证明 ；
（Ⅱ）证明
解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1，
所以 ………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1= ，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么 ………………6分
所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意 ………………（12分）
11. (05年全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。
（Ⅰ）求 的通项；
（Ⅱ）求 的前n项和 。
解：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为 ，所以 解得 ，因而
（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故
则数列 的前n项和
前两式相减，得
即
12. (05年全国卷Ⅰ)
设等比数列 的公比为 ，前n项和 。
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。
解：（Ⅰ）因为 是等比数列，
当
上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（Ⅱ）由 得
于是
又∵ >0且－1< <0或 >0
当 或 时 即
当 且 ≠0时， 即
当 或 =2时， 即
13. (05年全国卷II) 已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果数列 前3项的和等于 ，求数列 的首项 和公差 ．
(I)证明：∵ 、 、 成等差数列
∴2 = + ，即
又设等差数列 的公差为 ，则( － ) = ( －3 )
这样 ，从而 ( － )=0
∵ ≠0
∴ = ≠0
∴
∴ 是首项为 = ，公比为 的等比数列。
(II)解。∵
∴ =3
∴ = =3
14.( 05年全国卷II)
已知 是各项为不同的正数的等差数列， 、 、 成等差数列．又 ， ．
(Ⅰ) 证明 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项 和公差 ．
(注：无穷数列各项的和即当 时数列前 项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即 ，得 因
当 =0时，{an}为正的常数列 就有
当 = 时， ,就有
于是数列{ }是公比为1或 的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列 的公比 =1，则当 →∞时其前 项和的极限不存在。
因而 = ≠0，这时公比 = ，
这样 的前 项和为
则S=
由 ，得公差 =3，首项 = =3
15. (05年全国卷III)
在等差数列 中，公差 的等差中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项
解：由题意得： ……………1分
即 …………3分
又 …………4分
又 成等比数列,
∴该数列的公比为 ，………6分
所以 ………8分
又 ……………………………………10分
所以数列 的通项为 ……………………………12分
16. （05年山东卷）
已知数列 的首项 前 项和为 ，且
（I）证明数列 是等比数列；
（II）令 ，求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小.
解：由已知 可得 两式相减得
即 从而 当 时 所以 又 所以 从而
故总有 ， 又 从而 即数列 是等比数列；
（II）由（I）知
因为 所以
从而 =
= - =
由上 - =
=12 ①
当 时，①式=0所以 ；
当 时，①式=-12 所以
当 时， 又
所以 即① 从而
17．(05年上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400•(1.08)n-1•0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)•50>400•(1.08)n-1•0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
18. （05年天津卷）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求数列 的前n项和 ；
（Ⅱ）求 .
（18）解：（Ⅰ）当 时， ．这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ，
，
若 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ），当 时， ，则 ．
当 时，
此时， ．
若 ， ．
若 ， ．
19. （05年天津卷）若公比为c的等比数列｛ ｝的首项 ＝1且满足： （ ＝3，4，…）。
（I）求c的值。
（II）求数列｛ ｝的前 项和 。
20. （05年浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．
解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得
将 代入(3),整理得
解得 或
故 , 或
经验算，上述两组数符合题意。
21（05年浙江卷）设点 ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ， 由以下方法得到：
x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点 在抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn上，点 ( ，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{ }是等差数列．
解：（I）由题意，得 。
设点 是 上任意一点，则
令 则
由题意，得 即
又 在 上，
解得
故 方程为
(II)设点 是 上任意一点，则
令 ，则 .
由题意得g ，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当n=1时， 等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当 时，由（*）知
又
即当 时，等式成立。
由①②知，等式对 成立。
是等差数列。
22. (05年重庆卷)数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n³1)。记 (n³1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
解法一：
（I）
（II）因 ，
故猜想
因 ，（否则将 代入递推公式会导致矛盾）。
∵
故 的等比数列.
,
解法二：
（Ⅰ）由
整理得
（Ⅱ）由
所以
故
由 得
故
解法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
从而
故
23. (05年重庆卷)数列{an}满足 .
（Ⅰ）用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）已知不等式 ，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时， ，不等式成立.
（2）假设当 时不等式成立，即
那么 . 这就是说，当 时不等式成立.
根据（1）、（2）可知： 成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到 求和可得
即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证 成立，故
令
取对数并利用已知不等式得
上式从2到n求和得
因
故 成立
24. （05年江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以 ，可得：
令
所以
………
又
∴
∴
25. （05年江西卷）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
26、（04年全国卷四文18）．已知数列{ }为等比数列， （Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 是数列{ }的前 项和，证明
解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4. 依题意，得方程组a1q=6, a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{an}的通项公式为an=2•3n－1
（II）
27、（04年全国三文⒆）设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且 , ，求数列{an}的通项公式.
解：设数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1，由已知得： .解之得： ， 或 （舍）
28（04年全国卷三理(22)）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{an}的通项公式；⑶证明：对任意的整数m>4，有
解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2 a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3 a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得： ，化简得：
上式可化为： ，故数列{ }是以 为首项, 公比为2的等比数列.故 ∴
数列{ }的通项公式为：
⑶由已知得：
. 故 ，( m>4)
29、（04年天津卷文20. ）设 是一个公差为 的等差数列，它的前10项和 且 ， ， 成等比数列。（1）证明 ；（2）求公差 的值和数列 的通项公式
证明：因 ， ， 成等比数列，故 ，而 是等差数列，有 ，
于是 ，即 ，化简得
（2）解：由条件 和 ，得到 ，由（1）， ，代入上式得 ，故 ， ，
30（04年浙江卷文（17））、已知数列 的前n项和为 （Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求证数列 是等比数列
解: (Ⅰ)由 ,得 ，∴ ，又 ,即 ,得 .(Ⅱ)当n>1时, 得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列
31（04年广东卷17）. 已知 成公比为2的等比数列( 也成等比数列. 求 的值
解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
32（04年湖南文20）． 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n
（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ，即 变形得 所以 （舍去）.由
得
所以12S3，S6，S12－S6成等比数列
（Ⅱ）解：
即 ①
①× 得：
所以
33、（04年江苏卷20）.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项 32 ，公差 ，求满足 的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有 成立
解：（1） ；（2） 或 或
34（04年全国卷一理15）．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项
（ 答案 ）
35（04年全国卷一理22）．已知数列 ，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式
解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k = a2k－1+(－1)k+3k, 所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k, 同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,
……a3－a1=3+(－1).
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],
由此得a2k+1－a1= (3k－1)+ [(－1)k－1],于是a2k+1=
a2k= a2k－1+(－1)k= (－1)k－1－1+(－1)k= (－1)k=1
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an¬= 当n为偶数时，
36（04年全国卷一文17）． 等差数列{ }的前n项和记为Sn.已知
（Ⅰ）求通项 ；（Ⅱ）若Sn=242，求n
解：（Ⅰ）由 得方程组 解得
所以 （Ⅱ）由 得方程
解得
37（04年全国卷二理（19））、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝ Sn（n＝1，2，3，…）
证明：(Ⅰ)数列{ }是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an
证（I）由a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3，…)，知a2= S1=3a1, , ,∴
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{ }是首项为1，公比为2的等比数列
证（II） 由（I）知， ，于是Sn+1=4(n+1)• =4an(n )
又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an
38（04年全国卷二文（17））、已知等差数列{an}，a2＝9，a5 ＝21
(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn
解：a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1；{bn}是首项为32公比为16的等比数列，Sn= .