三角形的内角和为什么是180度

Question

如题所述

Answer 1

三角形内角和为180度的结论来源于欧几里得几何的第五公设，也就是平行公设（在平面上，过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）。
基于这个公设，可以通过严谨的几何推理证明：
在一个三角形ABC中，假设BC是一条直线段，过点A做直线AD平行于BC，则角BAC加角CAD等于180度（因为它们是直线AB与AD所夹的同旁内角）。
同理，过点A再做直线AE平行于BC，那么角CAB加角BAE等于180度（同样是因为同旁内角互补）。
由于AD和AE都是平行于BC的直线，所以在平面几何条件下，AD与AE必定重合，也就是说角CAD等于角BAE。
将两个等式合并得到：“∠BAC+∠CAD+∠CAB=∠BAC+∠CAB+∠BAE=180°+180°=360°”。
但由于“∠CAD=∠BAE”，所以“∠BAC+∠CAB+∠BAC=360°-∠CAD=360°-∠BAE=180°”，这就是三角形ABC的内角和。
任何一个平面三角形的三个内角之和恒等于180度。