高中数学原理

Question

如题所述

Answer 1

一、考点（限考）概要：
1、计数原理：
（1）分类计数原理 (加法原理)：
完成一件事，有n类方式，在第一类方式中有种不同的方法，在第二类方式中有种不同的方法，……在第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（2）分步计数原理 (乘法原理)：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（3）两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，即“联斥性”：
①对于加法原理有以下三点：
ⅰ“斥”——互斥独立事件；
ⅱ模式：“做事”——“分类”——“加法”；
ⅲ关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。
②对于乘法原理有以下三点：
ⅰ“联”——相依事件；
ⅱ模式：“做事”——“分步”——“乘法”；
ⅲ关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。
二、复习点睛：
1、分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。　　
（1）两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数；　 　　　　　
（2）两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”； 　　　　　　
（3）两个原理浅释：　　
①分类计数原理（加法原理）中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时彼此之间相互独立，互不干扰，交集为空集，并集为全集，没有重复也没有遗漏。进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事，只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。　　
②分步计数原理（乘法原理）中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏。如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而步与步之间是相互独立，互不影响的，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法，相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理。　　　
（4）两个原理的相同点与不同点：
①共同点：都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理，因此都要先弄清是怎样一件事，如何才算完成这件事；
②不同点：分类计数原理中的n类办法相互独立，且每类里的每种方法都可独立完成这件事；分步计数原理中的各个步骤互相依存，每一步都不能独立完成该件事，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
（5）用两个原理解题的步骤：
第一步：指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是分“n类”还是分“n步” ；
第二步：求每 “类”或每“步”中不同方法的种数；
第三步：利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
第四步：作答。
2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析，确定需要分类还是分步：
（1）分类要做到“不重不漏”——无一遗漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
（2）分步要做到“步骤完整”——缺一不可，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然“步”与“步”之间要相互独立，还要注意“步”与“步”之间的连续性。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
3、解决计数原理类的问题时，应从简单分类讨论入手，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度考虑问题。对于复杂问题，可同时运用两个基本计数原理或借助列表、画圆的方法来帮助分析。

Answer 2

（1）分类计数原理 (加法原理)：
完成一件事，有n类方式，在第一类方式中有种不同的方法，在第二类方式中有种不同的方法，……在第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（2）分步计数原理 (乘法原理)：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（3）两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，即“联斥性”：
①对于加法原理有以下三点：
ⅰ“斥”——互斥独立事件；
ⅱ模式：“做事”——“分类”——“加法”；
ⅲ关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。
②对于乘法原理有以下三点：
ⅰ“联”——相依事件；
ⅱ模式：“做事”——“分步”——“乘法”；
ⅲ关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互 相联系又彼此独立。（1）分类计数原理 (加法原理)：
完成一件事，有n类方式，在第一类方式中有种不同的方法，在第二类方式中有种不同的方法，……在第n类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（2）分步计数原理 (乘法原理)：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
（3）两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，即“联斥性”：
①对于加法原理有以下三点：
ⅰ“斥”——互斥独立事件；
ⅱ模式：“做事”——“分类”——“加法”；
ⅲ关键：抓住分类的标准进行恰当地分类，要使分类既不遗漏也不重复。
②对于乘法原理有以下三点：
ⅰ“联”——相依事件；
ⅱ模式：“做事”——“分步”——“乘法”；
ⅲ关键：抓住特点进行分步，要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。

原理：自然科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。既能指导实践，又必须经受实践的检验。