如何证明分块对角矩阵的秩是每个分块秩的和？

不用向量的概念，仅用行列式矩阵的知识，如何证明准对角阵的秩r（A）=r（A1）+r(A2)+...+r(An)

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推荐答案 2021-04-12

等价标准型解法，见图片。

ps:向量组他不香吗？

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第1个回答 2021-04-13

把每个对角块里面对应的最大非零子式找出来, 拼到一起作为大矩阵的最大非零子式即得r(A)>=r(A1)+...+r(An)
再任取一个超过r(A1)+...+r(An)阶的子式, 由抽屉原理推出其行列式为零, 得到r(A)<=r(A1)+...+r(An)

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问题一:块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗?如何证明。问题二:答：1. 块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和考虑各个分块的极大无关组, 扩充为列向量组, 合并后仍线性无关 2. 设A为m×n矩阵, R(A)=m 所以A的列秩 = m 所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示特别地有: Em的列向量都可由A的列向量组线性表示故存在矩阵nxm矩阵B, 满足 Em = A...

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请问老师,如何证明分块对角矩阵的秩=对角块的秩之和?答：1,...,u_r}以及A2的极大无关组{v_1,...,v_s} 那么把它们适当补0之后（比如[u_1^T,0]^T, [0,v_1^T]^T）可以得到A的列，用定义验证这些列是线性无关的，并且A的每一列都可以由它们线性表示如果有多个对角块，把第一块作为A1，余下的作为A2，对A2用归纳法 ...

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分块矩阵秩的判别答：如果对于每个分块阵所找到的极大无关行向量组都位于不同的行，则第一行的秩为每个分块阵秩之和：若不能找到，则第一行的秩小于每个分块阵秩之和。再整个矩阵看成行分块，即一“列”的矩阵，同理，所以结论成立。例如：分块矩阵ACOB，可以看成上半部AC、下半部OB构成，则rank (分块ACOB) =...

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