等比数列的前n项和Sn与S2n、 S3n之间的关系是？

Question

如题所述

Answer 1

对于等比数列，若首项是 a，公比是 r，则第 n 项可表示为 a * r^(n-1)。
首先，我们计算等比数列的前 n 项和 Sn：
Sn = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(n-1)
然后，计算等比数列的前 2n 项和 S2n 和前 3n 项和 S3n：
S2n = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(2n-1)
S3n = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(3n-1)
这里我们可以观察出两个重要的关系：
1. S2n 与 Sn 的关系：
将 S2n 分为两部分：S2n = (a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(n-1)) + (a * r^n + a * r^(n+1) + a * r^(2n-1))
注意到第一部分等于 Sn，第二部分等于 Sn * r^n，所以可以得到 S2n = Sn + Sn * r^n = Sn * (1 + r^n)
2. S3n 与 Sn 的关系：
将 S3n 分为三部分：S3n = S2n + (a * r^(2n) + a * r^(2n+1) + ... + a * r^(3n-1))
注意到第二部分等于 Sn * r^(2n) * (1 + r^n + r^(2n) + ... + r^(n-1)), 这是一个等比数列求和公式，可以计算得到 r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)
所以可以得到 S3n = S2n + Sn * r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)。
综上所述，等比数列的前 n 项和 Sn，S2n 和 S3n 之间的关系是：
S2n = Sn * (1 + r^n)
S3n = S2n + Sn * r^(2n) * ((r^n)^n - 1) / (r^n - 1)
这些关系可以用于求解等比数列的各项和。