证明:
∵数列{Xn}有界,因此:
∀ Xn∈{Xn},∃ M>0,当 n>N1时(N1∈N),
∴|Xn|≤ M成立
又∵lim(n→∞) Yn = 0
∴∀ ε' >0,∃ N2∈N,当 n>N2时,必有:
|Yn- 0| < ε'成立
即:|Yn|< ε'
显然:
|Xn|·|Yn| < ε'M 成立,此时n=max{N1,N2}
令ε=ε'M,则:
∀ ε>0
|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立
∴必有:
lim(n→∞) XnYn =0
扩展资料:
数列极限的性质
1、唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性:如果一个数列’收敛‘(有极限),那么这个数列一定有界。
但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛。例如数列 :“1,-1,1,-1,……,(-1)n+1”
3、保不等式性:设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ,使得当n>N时有xn≥yn,则 (若条件换为xn>yn ,结论不变)。
4、和实数运算的相容性:譬如:如果两个数列{xn} ,{yn} 都收敛,那么数列{xn+yn}也收敛,而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。