设数列an满足a1+3a2+...+3^(n-1)an=1/2(an-1)×3^n+1/2，其中n∈Z,求数列an的通项

Question

如题所述

Answer 1

解：
当n=1时，
由a1+3a2+...+3^(n-1)an=1/2(an-1)×3^n+1/2
得a1=(1/2)(a1-1)*3+1/2
解得a1=2
当n≥2时，
由a1+3a2+...+3^(n-1)an=1/2(an-1)×3^n+1/2
得a1+3a2+...+3^(n-2)a(n-1)=1/2[a(n-1)-1]×3^(n-1)+1/2
把上两式相减得3^(n-1)an=(1/2)[3an-a(n-1)-2]*3^(n-1)
即an-a(n-1)=2
于是an是公差为2，首项为a1=2的等差数列。
所以an=2+(n-1)2=2n,
当n=1时，也适合an=2n
所以数列{an}的通项是an=2n(n∈Z)

Answer 2

设bn=3^(n-1)an, 等式左边可以看做bn的前n项和sn,
n>=2时，3^(n-1)an=bn=sn-s(n-1)={3^n(an-1)-3^(n-1)[a(n-1)-1]}/2
整理得到:an-a(n-1)=2,
所以an是个公差为2，首项为a1=2的等差数列。
所以,n>=2时,an=2+(n-1)2=2n,
n=1也符合这个关系，

所以an=2n