在三角形ABC中，内角A、B、C的对边

Question

在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b（1）求sinC/sinA的值

（2)若cosB=1/4，三角形ABC的周长为5，求b的长

Answer 1

（1）、由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，
——》(2c-a)/b=(4RsinC-2RsinA)/2RsinB=(2sinC-sinA)/sinB=(cosA-2cosC)/cosB，
——》cosB(2sinC-sinA)=sinB(cosA-2cosC)，
——》2(cosBsinC+sinBcosC)=cosAsinB+sinAcosB，
——》2sin(B+C)=2sinA=sin(A+B)=sinC，
——》sinC/sinA=2
（2）、cosC=√(1-sin^2C)=√(1-4sin^2A)
cosB=1/4，——》sinB=√15/4，
——》sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinA*√(1-4sin^2A)+√(1-sin^2A)*2sinA=√15/4，
整理得：6144sin^4A-2400sin^2A+225=0=(96sin^2A-15)(64sin^2A-15)，
——》
1、96sin^2A-15=0时，——》sinA=√10/8，sinC=√10/4，
周长L=5=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=R(3√10+2√15)/4，
——》R=20/(3√10+2√15)，
——》b=2RsinB=5√6-10；
2、64sin^2A-15=0时，——》sinA=√15/8，sinC=√15/4，
周长L=5=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)=5√15R/4，
——》R=4/√15，
——》b=2RsinB=2。

Answer 2

（1）sinC/sinA=2

（2)b=2

解：（1）∵（cosA-2cosC）/cosB=（2c-a）/b

∴bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB
2cbcosA/2c-2bacosC/a=2cacosBa-2accosB/2c
( b∧2+c∧2-a∧2)/2c-(b∧2+a∧2-c∧2)/a=(a∧2+c∧2-b∧2)/a-(a∧2+c∧2-b∧2)/2c
两边同乘以2ac并化简得：c=2a
∴c/a=2
∵sinC/sinA=c/a

∴ sinC/sinA=2

（2)由（1）可知：c=2a①
又∵三角形ABC的周长为5，cosB=1/4
∴a+b+c=5②,(a∧2+c∧2-b∧2)/2ac=1/4③
由①②③解得b=2