亚循环群的存在性可以通过构造法来证明。
首先，我们需要明确什么是亚循环群。在群论中，一个群G被称为循环群，如果存在一个元素a∈G，使得对于所有的g∈G，都有g^n=e（其中e是群的单位元，n是任意正整数）。如果存在一个子群H，满足上述条件，并且H不等于整个群G，那么我们就称H为G的一个亚循环子群。
证明亚循环群的存在性的步骤如下：
1.选择一个非空子集S，并定义运算“·”为集合的对称差，即a·b=a-b。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
2.定义运算“*”为集合的笛卡尔积，即a*b={(a,b),(b,a)}。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
3.定义运算“^”为集合的幂集，即a^b={x|x∈S且存在k∈N使得x=a*...*a（k个a）}。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
4.定义运算“→”为集合的逆元，即a→b={x|x∈S且存在k∈N使得x=a*...*a（k个a）}。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
5.定义运算“_”为集合的逆元，即a_b={x|x∈S且存在k∈N使得x=a*...*a（k个a）}。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
6.定义运算“_”为集合的对称差，即a_b=a-b。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
7.定义运算“∪”为集合的并集，即a∪b=a+b。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
8.定义运算“∩”为集合的交集，即a∩b=a+b。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
9.定义运算“-”为集合的差集，即a-b=a+b。显然，这个运算满足封闭性、结合律和单位元存在性。
10.定义运算“/”为集合的等价关系，即a/b表示集合{x|x∈S且x与y等价}。显然，这个运算满足自反性、对称性和传递性。
通过以上步骤，我们构造了一个具有多种运算的集合S。由于这些运算满足群的所有性质，所以S本身就是一个群。而S中的任何一个子集都可以通过这些运算得到一个子群，因此S是一个亚循环群。这就证明了亚循环群的存在性。