在群论中，亚循环群和置换群之间存在密切的联系。首先，我们需要了解什么是亚循环群和置换群。
亚循环群是一种特殊的循环群，它的特点是群的元素可以按照某种顺序排列，使得相邻元素之间的乘积为1。换句话说，亚循环群的元素可以通过一个循环移位操作生成。例如，考虑整数集合Z，它包含所有的整数，并且加法运算满足封闭性、结合律和单位元。我们可以将Z视为一个亚循环群，因为对于任意整数a和b，有(a+b)-b=a，即相邻元素之间的乘积为1。
置换群是另一种常见的群结构，它是由一个集合上的一个置换（即一个双射）组成的群。置换群的运算是将两个置换进行复合，即将第一个置换应用于第二个置换的结果。例如，考虑一个由n个元素的集合S，我们可以用S上的所有排列作为S上的置换群。这个置换群的运算是将两个排列进行交换位置。
现在我们来探讨亚循环群和置换群之间的联系。首先，我们可以看到亚循环群实际上就是一种特殊的置换群。具体来说，如果我们将亚循环群的元素看作是一个序列，那么这个序列就是一个置换。例如，在上面的例子中，整数集合Z的元素可以看作是一个序列，其中每个整数对应于序列中的一个位置。因此，整数集合Z是一个亚循环群，同时也是一个置换群。
其次，我们可以从另一个角度来看待亚循环群和置换群之间的关系。事实上，任何置换群都可以表示为一个亚循环群的子群。这是因为对于一个置换群G，我们可以将其元素看作是一个序列，然后通过选择一个固定的循环移位操作来生成G的一个子群H。这个子群H的元素就是G的元素按照某个固定的顺序排列得到的序列。由于H的元素可以通过循环移位操作生成，所以H是一个亚循环群。此外，由于H包含了G的所有元素，所以H是G的一个子群。因此，任何置换群都可以表示为一个亚循环群的子群。