设直线l:y=x+b与椭圆C:x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1(a>1)相交于A,B两点，且l过椭圆C的右焦点，

Question

若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆的方程

Answer 1

不难知c²=a²-(a²-1)=1 , 焦点坐标为F1(-1,0), F2(1,0),L过(1,0),代入y=x+b,得b=-1,即L为
y=x-1,与椭圆方程 x²/a²+y²/(a²-1)=1 联立,代入得 (a²-1)x²+a²(x-1)²=a²(a²-1),整理得
(2a²-1)x²-2a²x+2a²-a²a²=0由韦达定理X1*X2=(2a²-a²a²)/(2a²-1) ...①, 因以AB 为直径的圆过左焦点, 所以F1A⊥F1B, 斜率乘积=-1, 即Y1/(X1+1)*Y2/(X2+1)=-1...②, 又因为 Y1*Y2=(X1-1)(X2-1)=X1*X2-(X1+X2)+1,所以代入上式②中并整理得 X1*X2=-1 ,将①代入,即(2a²-a²a²)/(2a²-1)=-1 ,化简为 a²a²-4a²+1=0, 由求根求根公式得 a²=2+√3. 椭圆方程即可得.