矩阵乘积的秩小于等于任何一个因子的秩

如题所述

推荐答案 2011-11-11

此题不需要用那个结论也能证明出来啊，必须用吗？
证：由于K是满秩方阵，因此可逆，存在K逆，等式两边同时左乘K逆，得
K逆( )=( )，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组
这样就说明alpha那个向量组可由beta那个向量组线性表示，因此两向量组可以互相线性表示，所以两向量组等价，由于等价向量组秩相同，因此beta那个向量组的秩也是s，因此beta向量组线性无关。追问

这个我也会，只是想问问那个提示方法怎么证。。

追答

那就这样来证吧
由原式说明：beta那个向量组的秩小于等于alpha那个向量组的秩，
然后等式两边同时左乘K逆，得
K逆( )=( )，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组
这个式子又说明beta那个向量组的秩大于等于alpha那个向量组的秩，
因此两个向量组秩相同，所以beta向量组的秩为s，线性无关。

追问

很谢谢你，最后你能证明一下，那个乘积的秩小于等于任何一个因子的秩吗，谢谢！

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