初三三角函数数学题

Question

在东西方向的海岸线l上，有一个长为一千米的码头MN，在M的正西方19.5千米处，有一个观察站A，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处，经过一小时二十分钟，又测的该轮船位于A恶北偏东60°，且与A相距8倍的根号3km的C处若该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船是否能正好行至码头MN靠岸？请说明理由

Answer 1

解：【注意：你图画的不是很准确，北偏西30°是向上(北)往西偏转30°，北偏东60°是向上(北)往东偏转60°】
据已知 AB=40km, AC=8√3km，∠BAC=30°+60°=90°,∠CAM=90°-60°=30°
∴ BC=√(AB²+AC²)=16√7
在直角三角形ABC中：
cos∠ACB=AC/BC=8√3/(16√7)=√21/14
sin∠ACB=AB/BC=40/(16√7)=5√7/14
延长BC交AN于D
∵∠ACB=∠D+∠DAC
∴ sin(∠D)=sin(∠ACB-∠DAC)=sin∠ACB *cos∠DAC-con∠ACBsin∠DAC
=5√7/14 * √3/2 - √21/14 * 1/2
=√21/7
sin∠ACD=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB
根据正弦定理
AD/sin∠ACD=AC/sin∠D
AD=8√3 / (√21/7) * 5√7/14=20km
∵ AM=19.5，AN=19.5+1=20.5
∴ AM<AD<AN
该轮船能正好行至码头MN靠岸.

Answer 2

BC^2=AB^2+AC^2
=40^2+(8√3)^2
=1600+192
=1792
cosBCA=AC/BC
=8√3/√1792 =0.327
sinBCA=0.94
BC交AN于T点
角CTA sinCTA=sin(BCA-30)
=cos30*sinBCA-sin30cosBCA
=(√3/2)*0.94-0.5*0.327
=0.813-0.164
=0.649
AT/sinACT=AC/sinATC
AT=sinACT*AC/sinCTA
=sinACB*8√3/0.649
=0.94*8*1.73/0.649
=20.05
AM<AT<AN
能正常靠码头MN