1+1/2+1/3+......+1/n= ?

Question

如题所述

Answer 1

sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
当然是发散级数

调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才OK。而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。

p-级数在P>1的时候是收敛的，也就是说对于任意ε>0,n的1+ε次方的倒数这个级数是收敛的,在我们直观上看来,好象调和级数下面的n只要大了一小点,或者说调和级数的每一项只要小一小点点,那么这个级数就是收敛的了,但是事实上并不是这样sin1/n这个级数的发散的,但是在1/n>0的时候,sin1/n<1/n是一个人尽皆知的事实,但是它却并不收敛,这个令人困惑的问题恰恰说明了一个问题,数轴上数的稠密性.

在分母换成素数的时候又会产生两个令人困惑不解的事实:

设所有的素数的倒数和为:
s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...

在我们直观的看来,素数比自然数要少的多,但是很不幸这个级数是发散的.

但是在同时所有孪生素数的倒数和:
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...

这个级数是收敛的,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...

另外一个我们取调和级数的一个子数列,例如取n=4k,级数仍然是发散的,但是这样却产生了另一个困惑,我们如果取n为所有不含有数字8的自然数,所得的级数是收敛的,这个事实可以这样解释,在无限的范围以内,每个自然数几乎含有所有的10个数字.

1、当n＞1的时候，调和级数1+1/2+...+1/n都不可能是个整数（这个问题的证明是很浅显的）

2、任何一个正有理数都能表示成为调和级数1+1/2+...+1/n中某些互异项的和（如果具有良好的无限的观点，这个问题也是很容易在直观上理解的，但是这个问题的证明却已经进入了初等数论的范畴，要用到递归下降的方法）

3、调和级数和级数的密率判定敛散性的方法（很吸引人的话题，但是我手头还没有任何的资料）

4、关于去掉一些项收敛的问题：在调和级数的项幂级数增加的时候，只有去掉也同样以幂级数增加的项，得到的级数才会收敛

Answer 2

有多种判别方法，给出两种：
第一种，sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
当然是发散级数

第二种
利用柯西收敛原理来证明：任给ε<1/2abs(S2n-Sn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+……+1/(n+n)=n/(n+n)=1/2>ε

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/36608226.html?fr=qrl3

Answer 3

这个是调和级数，是发散的，也就是部分和没有上限
我们来证明它是发散级数：假使它不是发散级数，则有最大值S，则它的奇数项和偶数项该是相等的，然而1>1/2 1/3>1/4 1/5>1/6……所以它是发散级数 所以没答案

Answer 4

调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，我们可以很容易的看到这个事实，因为S2n-Sn>1/2,而调和级数的第一项是1，也就是说调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才OK。而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。

Answer 5

调和级数的性质 n ∑ k=1（1／k）= ln( n ) +c
当n很大时):
1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)