已知抛物线C:y^2=2px（p＞0）的焦点为F,其准线为l,P(1/2,m)是抛物线C上的一点

Question

已知抛物线C:y^2=2px（p＞0）的焦点为F,其准线为l,P(1/2,m)是抛物线C上的一点，点P到直线l的距离等于点P到坐标原点O的距离
求抛物线C方程
若椭圆E：bx²+9y²=9b与抛物线C由同一焦点F，求椭圆E方程
设抛物线C于2,中的椭圆E交点为A、B，求以直线OA、OB为渐近线，且过点P的双曲线方程

Answer 1

按抛物线的定义，P与准线的距离等于与焦点F(p/2, 0)的距离, PO = PF, 即P为以OF为底的等腰三角形的顶点，P到OF的垂线平方OF，所以OF=P的横坐标的2倍，即p/2 = 1, p = 2

y² = 4x

bx²+9y² = 9b

x²/9 + y²/b = 1

c² = 1 = 9 - b

b = 8

x²/9 + y²/8 = 1

A, B在y轴右侧,

x²/9 + 4x/8 = 1

x = 3/2  (舍去x = -6 < 0)

y = ±√6

渐近线的斜率 = ±√6/(3/2) = ±2√6/3

渐近线: y = ±(2√6/3)x

b/a = 2√6/3, b² = 8a²/3

x²/a² - y²/(8a²/3) = 1

根据对称性,不妨设P在x轴上方, m > 0
y² = 4*1/2 = 2, y = √2

P(1/2, √2)

过P: (1/2)²/a² - (√2)²/(8a²/3) = 1

无解,题似乎有问题

追问

就第三问不会做…… 那我换个问题吧…… 已知抛物线y²=4x与x²=4y，它们在第一象限内的公共点为A，过A引一条直线使之与x轴与y轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求最小面积。 拜托了 谢谢！

追答

交点A(4, 4). 直线y -4 =k(x-4); 与坐标轴交于B(4 - 4/k, 0), C(0, 4-4k); S = (1/2)OB*OC =8(2-k -1/k); k=1/k时，-k-1/k最小，为2，S为32