f '(0) = lim(x->0) [ f(x) - f(0) ] / (x-0)
= lim(x->0) x² sin(1/x) / x
= lim(x->0) x sin(1/x) 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小
= 0
扩展资料
当x->0时f(x)->f(0),说明函数在0点连续,这是导数存在的必要条件.
接下来用导数的定义求0点的左、右导数：
f'(0+)=lim(x->0+) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
是无穷小×有界的形式
所以f'(0+)=0
f'(0-)=lim(x->0-) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim[x^2*sin(1/x)]/x
=lim[x*sin(1/x)]
还是无穷小×有界的形式
所以f'(0-)=0
综上：由于f'(0+)=f'(0-)=0
所以f'(0)=0
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