怎样确定函数的极值点

Question

如题所述

Answer 1

一个函数能够取到极值（最大值或最小值）的充要条件是其导数在该点处为零或不存在。这可以通过以下方式表示：
1. 极大值的充要条件：如果函数 f(x) 在点 x = c 处取得极大值，那么 f'(c) = 0，并且 f''(c) < 0，即导数为零且二阶导数为负。
2. 极小值的充要条件：如果函数 f(x) 在点 x = c 处取得极小值，那么 f'(c) = 0，并且 f''(c) > 0，即导数为零且二阶导数为正。
需要注意的是，这只是极值存在的充要条件，而不是极值确实存在的充要条件。函数可能在导数为零的点处取得极值，也可能在导数不存在的点处取得极值。为了确定某个点是否为真正的极值点，还需要进行进一步的分析，如使用二阶导数测试、边界条件等。
此外，还需要注意的是，函数可能存在其他类型的驻点（导数为零但不是极值点），如拐点或平稳点。因此，在确定极值点时，需要考虑其他因素，并进行全面的分析。

Answer 2

若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。

极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

极值点出现在函数的驻点(导数为0的点)或不可导点处(导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在)。