线性代数矩阵秩与伴随矩阵秩的证明

Question

在(3)处,实在不明白为什么r(A)<N-1时,A的所有N-1的阶子式全为0?
为何(3)步骤,r(A)<n-1时,所有的n-1阶子式为0 ,,,,然后怎么得到A*=0?

Answer 1

定理: r(A)=r <=> A存在非零的r阶子式, 且所有r+1阶子式全为0

如果A有 n-1 阶子式不等于0, 则 A 的秩 至少是 n-1.追问

知道了.那么,为何(3)步骤,r(A)<n-1时,A*=0?

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Answer 2

矩阵的秩是最高阶非零子式的阶数，既然r(A)<N-1，说明最高阶非零子式的阶数小于N-1，也就是N阶和N-1阶子式肯定等于零。追问

所以在有N和N-1阶等于零时。伴随A秩为O

追答

对。