在三角形ABC中，内角ABC的对边分别是abc且cosB＋sin2／A＋C＝0，（1）求角B大小（

Question

如题所述

Answer 1

根据已知条件，我们可以列出以下方程：

cosB + sin2⁄A + C = 0

由于我们需要求解角B的大小，因此需要将上述方程中的其他未知量用B表示出来。根据三角形的余弦定理，可以得到：

cosB = (a² + c² - b²) ⁄ 2ac

将cosB代入原方程，得到：

(a² + c² - b²) ⁄ 2ac + sin²B⁄A + C = 0

根据正弦定理，可以得到：

sinB⁄a = sinC⁄b

sinB = asinC⁄b

将sinB用sinC表示，代入上述方程，得到：

(a² + c² - b²) ⁄ 2ac + (a² sin²C) ⁄ (b² A) + C = 0

将sinC用余弦表示，得到：

(a² + c² - b²) ⁄ 2ac + (a² (1 - cos²C)) ⁄ (b² A) + C = 0

化简上述方程，得到：

a²b² + b²c² - a²c² - b⁴ - a²b²cos²C + b⁴cos²C + a²b² - b⁴A + b⁴Acos²C = 2a²b²cosC

化简后，得到：

2a²b²cosC - a²b²cos²C - b⁴Acos²C - b⁴ = a²c² - b²c² - a²b² - c²b²

将cosC用余弦定理表示，得到：

2a²b² (a² + b² - c²) ⁄ (4a²b²) - a²b²((a² + b² - c²)²⁄(4a²b²)) - b⁴A((a² + b² - c²)²⁄(4a²b²)) - b⁴ = a²c² - b²c² - a²b² - c²b²

化简后，得到：

a⁴ + b⁴ - c⁴ - 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² - 2b⁴A = 0

将A用三角形内角和公式表示，得到：

A = π - B - C

将上述公式代入原方程，得到：

cosB + sin²B÷sin(B + C) + C = 0

Answer 2

根据余弦定理，
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
代入cosB + sin^2(A+C) = 0中，可得：
(a^2+c^2-b^2)/(2ac) + sin^2(A+C) = 0
移项化简，得：
(a^2+c^2-b^2) + 2acsin^2(A+C) = 0
注意到sin^2(A+C)≥0，因此只有当a^2+c^2=b^2时，上式成立。
根据勾股定理 a^2+c^2=b^2 即可得到角B的大小，即B=90°。
因此，在三角形 ABC 中，如果内角ABC的对边分别是abc，且 cosB+sin^2(A+C)=0，则角B的大小为90°。

Answer 3

根据余弦定理，设角B对边为b，则有：

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB

其中，对于内角A和C有：

sinA = a/2R
sinC = c/2R

其中R为三角形ABC的外接圆半径。

将已知条件 cosB + sin^2⁡A/C = 0 带入上式，得：

b^2 = a^2 + c^2 + 2ac sinA/C

又因为 b = 2R sinB，代入上式：

4R^2 sin^2⁡B = a^2 + c^2 + 2ac sinA/C

将sinA/C用a、b、c表示，则：

sinA/C= sinBc/b = sin(B-A)＝sinC

代入上式，得：

4R^2 sin^2⁡B = a^2 + c^2 + 2ac sinC

将sinC用a、b、c表示，则 sinC = a/b sinA，代入上式，得到：

4R^2 sin^2⁡B = a^2 + c^2 + 2a^2/b

化简可得：

b^2 = (2R^2 - c^2) sinB

利用正弦定理，可得：

sinB/_