已知等比数列|an|的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,求证:Sn^2+S2n^2=(S2n+S3n)

Question

如题所述

Answer 1

a(n)=aq^(n-1),
q=1时，s(n)=na, s(2n)=2na, s(3n)=3na,
[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = (na)^2 + (2na)^2 = 5(na)^2, s(2n)+s(3n)=5na.
只有当na=1=s(n)时，命题才成立。

q不为1时，
s(n)=a[q^n - 1]/(q-1), s(2n) = a[q^(2n) - 1]/(q-1), s(3n) = a[q^(3n) - 1]/(q-1),
[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = [a/(q-1)]^2 {[q^n-1]^2 + [q^(2n)-1]^2} = [a/(q-1)]^2[q^n-1]^2{1+[q^n + 1]^2},
s(2n)+s(3n) = [a/(q-1)][q^(2n)-1+q^(3n)-1]=[a/(q-1)][q^n-1][q^n+1+q^(2n)+q^n+1]
=[a/(q-1)][q^n-1][(q^n)^2 + 2q^n + 1 + 1]
=[a/(q-1)][q^n-1]{1+[q^n+1]^2},
只有当[a/(q-1)][q^n-1]=s(n)=1时，命题才成立哈。

综合，有
当s(n)=1时，总有[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = [s(2n) + s(3n)],
s(n)不为1时，命题不成立。