根号三（√3）被称为无理数，这意味着它不能表示为两个整数的比例（即不能表示为分数的形式），并且不能精确地表示为有限的小数或循环小数。
证明√3为无理数的方法之一是通过反证法。我们假设√3是有理数，即可以表示为一个分数：
√3 = a/b
其中a和b是整数，并且a/b是一个最简化的分数（也就是a和b没有公因数）。根据等式，我们可以得到：
3 = (a^2) / (b^2)
将等式两边乘以b^2得：
3b^2 = a^2
由此得出，a^2是3的倍数。现在，我们考虑3的质因数分解：3 = 3 * 1，根据因式分解的性质，如果一个数的平方是3的倍数，那么这个数本身也必须是3的倍数。
因此，根据以上的推理，我们可以断定a本身也是3的倍数。如果a是3的倍数，那么a^2也必然是3的倍数，从而与我们的假设矛盾。
由此可见，假设√3是有理数，导致矛盾。因此，√3不能表示为一个有理数，被归类为无理数。
证明√3为无理数的方法之一是通过反证法。我们假设√3是有理数，即可以表示为一个分数：
√3 = a/b
其中a和b是整数，并且a/b是一个最简化的分数（也就是a和b没有公因数）。根据等式，我们可以得到：
3 = (a^2) / (b^2)
将等式两边乘以b^2得：
3b^2 = a^2
由此得出，a^2是3的倍数。现在，我们考虑3的质因数分解：3 = 3 * 1，根据因式分解的性质，如果一个数的平方是3的倍数，那么这个数本身也必须是3的倍数。
因此，根据以上的推理，我们可以断定a本身也是3的倍数。如果a是3的倍数，那么a^2也必然是3的倍数，从而与我们的假设矛盾。
由此可见，假设√3是有理数，导致矛盾。因此，√3不能表示为一个有理数，被归类为无理数。
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第1个回答 2023-09-22
1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数
2、设x=根号3,则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾
拓展资料：
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
参考资料：百度百科，无理数
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