如何证明根号三是无理数

Question

如题所述

Answer 1

分析：
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数。
整数和分数也统称为有理数。
所有的分数都是有理数，分子除以分母，最终一定是循环的。

②无理数的概念：无限不循环小数，可引申为“开方开不尽的数”。

③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立，然后正确地证明原假设是错误的。

解：
假设(√3)是有理数，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数。

∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。

此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)

两边平方，得：

m² / n² = 3

∴m² 是质数3的倍数

我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。

∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。

此时不妨设 m = 3k(k为正整数)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得：

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即：n² / k² = 3

对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数n也是3的倍数

∴正整数m和n均为3的倍数

这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。

意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论，

∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数

而已证(√3) 不是整数

∴(√3) 既 不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。

∴(√3) 是无理数。

Answer 2

用反证法。假设√3是有理数，则任何一个有理数都可以表示为既约分数m/n（即：m、n为整数，且互质）
因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3*n^2，因此m^2含有3的因数，因此m含有3的因数
假设m=3p，则：（3p）^2=3*n^2，得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因数，因此n含有3的因数
所以，m、n均含有3的因素，与m、n互为质数矛盾，因此√3是无理数
这是一个通用的证法，可以证明√2、√5、√6等等是无理数。