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已知f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导,又f(0)=0,0小于等于f'(x)小于等于1,证明:
已知f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导,又f(0)=0, 0小于等于f'(x)小于等于1,证明:（定积分（0，1）f(x)dx）^2 大于等于 定积分(0,1)f^3(x)dx
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推荐答案 2012-12-22
(1)设f(x)=c(c为常数)，则f(x)=c=f(0)=0，结论等号成立，结论成立；(2)设f(x)≠c，由于0≦f'(x)≦1，所以f(x)单调递增，所以在x∈(0，1]时，f(x)＞f(0)，即f(x)＞0①；做辅助函数h(x)=[∫(0→x)f(t)dt]^2、g(x)=∫(0→x)[f(t)]^3dt，显然在[0，1]h(x)和g(x)连续，在(0，1)h(x)和g(x)可导，并且g'(x)=[f(x)]^3≠0，根据苛西定理，存在ξ∈(0，1)，[h(1)-h(0)]/[g(1)-g(0)]=[∫(0→1)f(t)dt]^2/∫(0→1)[f(t)]^3dt=2f(ξ)∫(0→ξ)f(t)dt/[f(ξ)]^3=2∫(0→ξ)f(t)dt/[f(ξ)]^2②；由①及0≦f'(x)≦1得f(x)≥f'(x)f(x)≥0，所以对任意ξ∈(0，1)，∫(0→ξ)f(x)dx≥∫(0→ξ)f'(x)f(x)dx，因定积分和自变量的符号无关，所以∫(0→ξ)f(t)dt≥∫(0→ξ)f'(t)f(t)dt=∫(0→ξ)f(t)df(t)=(1/2)[f(t)]^2|(0→ξ)=(1/2)[f(ξ)]^2，即2∫(0→ξ)f(t)dt≥[f(ξ)]^2，即2∫(0→ξ)f(t)dt/[f(ξ)]^2≥1③；由②和③即[∫(0→1)f(t)dt]^2≥∫(0→1)[f(t)]^3dt，即[∫(0→1)f(x)dx]^2≥∫(0→1)[f(x)]^3dx；结论成立(毕)。
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其他回答
第1个回答 2012-12-16
不会
第2个回答 2012-12-16
啊啊啊
相似回答
已知f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导,又f(0)=0,0
≤f'(x)≤1
答：
由于0≤f'(x)≤1，所以过(y，f(y))作斜率为1的直线，左边的部分
在f(x)
下方或重合，又有y≧f(y)≧0 可以得出∫^(y
,0)f(x)
dx≧f(y)×f(y)/2（三角形面积公式），带入h’(y)可得h'(y)≧0，说明h(y)是单增函数，所以h(y)≧0，把y=1带入即证明不等式成立。
已知fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0
f1=
1,
答：
^令g(x)=x^3*
f(x)，
则g
(x)在[0,1]上连续，在(0,1)
内可导 因为g
(0)=0，
g(1)=
f(1
)=0，所以根据罗尔定理 存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0 3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0 3f(ξ)+ξf'(ξ)=0 证毕 例如：令g(x)=
xf(x),0
<=x<=1.那么g(0)=g(1)=0，g'(x...
已知
函数
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=0,f
(1)=
1,f(x)
是x
答：
g
(0)=
g(
1)=0,
因为
f(x)
是x的非线性函数， 所以 g(x) 是 非 常值函数。情形1： 存在 0<t<1 使得 f(t)>0.于是 存在 0<ξ<t, 使得， g'(ξ)=(g(t)-g(0))/(t-0) >0, ==> f‘(ξ)=g'(ξ)+1 >1 情形2： 存在 0<t<1 使得 f(t)<0.于是 存在 t<ξ<1, ...
证明
已知
函数
f(x)在(0,1)上连续且可导,且f(0)=0,f
(1)=
1,
存在两个不...
答：
下面假设在闭区间
[0
,
1]
连续。1. 如果
f(x)=x
在
(0,1)
上都成立。 任意取两个不同点分别为m,n即可。2.假设存在 0<x0<1, 使得 f(x0)不等于 x0, 不妨设 f(x0) >x0, (如果 f(x0) <x0, 证法类似）设 A=（0，0）， B=（1，1), C=(x0, f(x0)),则 直线AC 的...
设y
=f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0)=1,f
(1
)=0
.
答：
证明：令F(x)=
xf(x)
因为
f(x)在[0,1]上连续，(0,1)可导
所以F(x)也在[0,1]上连续，(0,1)可导 根据拉格朗日中值定理，存在a∈(0,1)使得[F(1)-
F(0)
]/(1-
0)=F
'(a)[1*f(1)-0*
f(0)
]=a*f'(a)+f(a)f'(a)=-f(a)/a 原题得证 ...
设
f(x)在[0,1]
.
上连续
,
在(0,1)
内
可导,且f
(1)=
f(0)=0,
证明:在(0,1?
答：
构造函数F(x)=e^x*f(x)显然
，F(0)=
F(1
)=0
而又因为
f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，
则 F(x)必定在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，则必定存在ξ∈(0,1)使得
F&#
x27;(ξ)=0 即：e^ξ*f(ξ)+e^ξ*
f&#
x27;(ξ)=0 即：f(ξ)+f'(ξ)=0 ...
...问题
已知
函数
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,f(
...
答：
这类问题主要是构造函数,构造函数时一般可以看成微分方程的题 这道题,本身出错了,不是f(0)=1,应该是f(1)=0,如果是f(0)=1,那么我令f(x)=1,满足题设,但f'(c)=0不等于-1/c 令
F(x)
=
xf(x)F(0)=0,F
(1)=0 故
（0,1）
内至少存在一点c,有F'(c)=0 即cf'(c)+f(c)=0,即f...
设函数
f(x)在
〔0,1〕
上连续
,
在(0,1)
内
可导,且f(0)=f(1)=0,
证明
答：
F=f(x)
e^(x/2)
,F
在区间
[0,1]
満足罗尔定理的条件.由罗尔定理
,在（0,1）
内至少有一点ξ，使F'(ξ
)=0,
但F'(x)=f'(x)e^(x/2)+(1/2)f(x)e^(x/2),代入即得结论
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已知f(x+1)=x,求f(x)
已知∫f(x)dx=f(x)+c
已知f(x,y)求F(x,y)
已知f(x)的定义域为[0,1]
已知函数f(x)=x+1/x
已知f(x)=x^2+ax+b
已知函数f(x)=x²-2x
已知函数f(x)=e^x-ax2
已知函数f(x)=lnx-ax