是不是写题时偷懒了啊。 应该是在
闭区间[0,1]连续,
开区间(0,1)可导吧。如果按你所写的,在端点时可能不连续,于是所给端点条件毫无意义。
下面假设在闭区间[0,1]连续。
1. 如果 f(x)=x 在(0,1)上都成立。 任意取两个不同点分别为m,n即可。
2.假设存在 0<x0<1, 使得 f(x0)不等于 x0, 不妨设 f(x0) >x0, (如果 f(x0) <x0, 证法类似)
设 A=(0,0), B=(1,1), C=(x0, f(x0)),
则 直线AC 的斜率k1 > 1, 直线CB 的斜率k2 < 1. 于是 存在 k, 使得 k2 < 1/k < 1 < k < k1
因为 1 < k < k1, 过A点的斜率为k的直线 必夹在 AC, AB 之间, 于是,根据连续性,必在 x0< x < 1 上与 (x, f(x)) 相交, 设交点为D1= (x1, f(x1)), 则在0<x<x1 上存在m, 使得 f'(m) = AD1的斜率=k,
类似, 因为 k2 < 1/k < 1, 过B点的斜率为1/k的直线 必夹在 CA, CB 之间, 于是必在 0< x < x0 上与 (x, f(x)) 相交, 设交点为D2= (x2, f(x2)), 则在x2<x<1 上存在n, 使得 f'(n) = D2B的斜率=1/k,
于是有 f‘(n)f’(m)=1/k * k =1
说明: 上面的证明主要是几何表述,完全可以转化为代数式表述。只是几何表述更便于理解。有疑问请继续问。