已知f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)上可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1

Question

求证 如图

Answer 1

设h(y)=(∫^(y,0)f(x)dx)²-∫^(y,0)f³(x)dx，y∈[0,1]
其中h(0)=0，h‘(y)=2∫^(y,0)f(x)dx×f(y)-f³(y)=f(y)[2∫^(y,0)f(x)dx-f²(x)]
由于0≤f'(x)≤1，所以过(y，f(y))作斜率为1的直线，左边的部分在f(x)下方或重合，又有y≧f(y)≧0
可以得出∫^(y,0)f(x)dx≧f(y)×f(y)/2（三角形面积公式），带入h’(y)
可得h'(y)≧0，说明h(y)是单增函数，所以h(y)≧0，把y=1带入即证明不等式成立。