一道定积分计算的小题

如题所述

推荐答案 2012-12-23

∫[- 1→1] x(1 - 2x)²√(1 - x²) dx
= ∫[- 1→1] x(1 - 4x + 4x²)√(1 - x²) dx
= ∫[- 1→1] (x - 4x² + 4x³)√(1 - x²) dx
= 奇函数 + 偶函数 + 奇函数
= 0 - 4∫[- 1→1] x²√(1 - x²) dx + 0
= - 4 * 2∫[0→1] x²√(1 - x²) dx
令x = sinθ、dx = cosθ dθ
= - 8∫[0→π/2] sin²θcos²θ dθ
= - 2∫[0→π/2] sin²2θ dθ
= - ∫[0→π/2] (1 - cos4θ) dθ
= [(1/4)sin4θ - θ] |[0→π/2]
= - π/2

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第1个回答 2012-12-23

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