等比数列求和公式的几何意义？

Question

限定一下，q>1

求和公式为S=(an-a1)/(q-1)
这么多项进行求和，得到的求和公式竟然这么完美。很难不让我相信这个公式没有几何意义！

本人曾想，(m+n)/2 是m和n的几何平均数。上式是不是哪些数的平均数呢？
本人愚昧，猜测应该不对。那么，等比数列求和公式的几何意义究竟是什么？
各位大师，小子先拜谢啦 ^_^
先感谢: 人间到处有青山 的指正啦！
但非常期待其他更完美的回答...

Answer 1

一定要找一个几何意义的话，围鸡百科上这幅图很有代表性。（Diagram showing the geometric series 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... which converges to 2.）

其实呢，等比数列求和，如果表达成比例q的进制，就是如下的样子（以n=4,q=10为例）：

1+10+100+1000=1111=9999/9=(10000-1)/(10-1)=(an-a1)/(q-1)

这几乎是显然的，没啥好说的。

Answer 2

很高兴你也是个数学迷，很喜欢探究本质的东西。数列和函数不一样，的确一般是没有几何意义的，但一般有现实模型。像这种以q为公比的等比级数求和，实际上是可以理解为以1为底，高为aq^n的矩形面积的和，是aq^x函数的面积之和的近似，但拟合误差较大。这个和微积分的几何意义原理是相近的，但是微积分可以做到误差为无穷小，也就是0。

Answer 3

求和公式为S=(an-a1)/(q-1)
而an = a1*q^（n-1)
故：S=a1[q^（n-1)-1]/(q-1)，a1和q为已知条件
因此：等比数列求和公式的几何意义就是指数函数对应的曲线。

Answer 4

等比数列求和公式是：S=(an*q-a1)/(q-1)

一般推导过程是用错位相减法得来的。数列主要抓住递推的特性来研究。

数列是函数，可能会用到某些函数图象。

但没听说过等比数列求和公式的几何意义。(m+n)/2是m和n的算术平均数，和几何也没关系。

Answer 5

(m+n)/2 是m和n的算数平均数；m*n开根号才是几何平均数；等比求和是有几何意义的追问

首先感谢您的指正。当然，小子非常想知道它的几何意义是什么。。。

追答

等比数列也叫几何级数。它的的魅力在于其极限形式，即q<1，n趋于无限时，S=a1/(1-q)。这个等式既可以从代数的角度证明，也可以用几何方式证明。具体太复杂了，你感兴趣的话可以查查相关资料。
实际中，一个有些关系的直观的例子是我们用的纸。纸张的大小有2开 4开 8开 16 开 32 开 64 开。这就是个等比数列，你会发现两张 4开纸拼出一张2开纸，两张 8开纸拼出一张4开纸，两张 16开纸拼出一张8开纸……。其实可以这样理解，2开代表的意思就是一张纸分成两半，不妨设原始纸张面积为1，2开纸面积为1/2，4开纸是1/4，以此类推。如果把这些纸拼起来，会逐渐接近原始面积为1的那张。即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1这是a1=1/2,q=1/2的等比数列和的极限。

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