等比数列求和公式推导 至少给出3种方法

Question

如题所述

Answer 1

一、等比数列求和公式推导

由等比数列定义 

a2=a1*q 

a3=a2*q 

a(n-1)=a(n-2)*q 

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得 

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q 

即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q 

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2) 

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1 

所以Sn= n*a1（q=1） ；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1)。

二、等比数列求和公式推导

错位相减法

Sn=a1+a2 +a3 +...+an

Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q

以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q

三、等比数列求和公式推导

数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

这就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。

参考资料：百度百科词条--等比数列求和公式

Answer 2

一般都是用错位相消

Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

　　q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q

　　=a2+a3+a4+...+a(n+1)

　　Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

　　(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　　Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　　Sn=(a1-an*q)/(1-q)

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

Answer 3

你好，过程如下
第一种：作差法
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
　　q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q 　　
=a2+a3+a4+...+a(n+1) 　　
Sn-q*Sn=a1-a(n+1) 　　
(1-q)Sn=a1-a1*q^n 　　
Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) 　　
Sn=(a1-an*q)/(1-q) 　　
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
还有两种方法暂时 忘了，，我帮你想想。。

Answer 4

1.利用等比数列的通项公式，将其代入求和公式中，然后进行化简。
2.利用等比数列的性质，将其分解为一个等比数列和一个常数列，然后分别求和。
3.利用等比数列的性质，将其分解为一个首项为1的等比数列和一个常数列，然后分别求和。
这些方法都可以得到等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数

Answer 5

首项a1,公比q
a(n+1)=an*q=a1*q^(n

Sn=a1+a2+..+an

q*Sn=a2+a3+...+a(n+1)

qSn-Sn=a(n+1)-a1

S=a1(q^n-1)/(q-1)
希望你能满意！追问

真的是要 3种方法

追答

Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
　　q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
　　=a2+a3+a4+...+a(n+1)
　　Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
　　(1-q)Sn=a1-a1*q^n
　　Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
　　Sn=(a1-an*q)/(1-q)
　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
　　Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

本回答被提问者采纳