设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点

Question

设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程．

Answer 1

由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|=2p，
圆F的半径|FA|=

2

p．…（3分）
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=

2

p．…（6分）
因为△ABD的面积为4

2

，所以

1

2

|BD|?d=4

2

，即

1

2

?2p?

2

p=4

2

，
解得p=-2（舍去），p=2．…（10分）
所以F（0，1），圆F的方程为x²+（y-1）²=8．…（12分）