矩阵的秩变化规律

Question

如题所述

Answer 1

矩阵秩的性质有以下几点：

1. 转置保持秩不变:

如果A是一个m×n的矩阵，那么其转置A^T的秩r(A^T)仍然等于其原秩r(A)。

2. 矩阵秩的限制:

对于任何m×n矩阵A，其秩r(A)不大于m和n中的较小值，即r(A)≤min(m,n)。

3. 系数倍数不影响秩:

如果k不为零，矩阵kA的秩r(kA)与原矩阵A的秩r(A)相等，即r(kA) = r(A)。

4. 矩阵秩与零矩阵的关系:

若A为零矩阵，其秩为零，即r(A)=0 ⇔ A=0。

5. 加法的秩限制:

矩阵A和B的和的秩r(A+B)不会超过它们各自秩的和，即r(A+B)≤r(A)+r(B)。

6. 乘积的秩限制:

矩阵乘积AB的秩不会超过其对应因子秩的较小值，即r(AB)≤min(r(A),r(B))。

特殊情况:

当A:m×n与B:n×s相乘，若AB为零矩阵，则r(A)+r(B)≤n。

可逆矩阵的作用:

如果P和Q是可逆矩阵，它们对矩阵秩的影响相同，即r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。