线性代数里面什么是秩,秩的作用是什么?

Question

希望可以讲的详细一点/

Answer 1

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

参考资料：百度百科 - 矩阵的秩

Answer 2

出现秩的概念，应该在两个地方，一个是矩阵，一个是向量组。但总体上，两个概念是一致的。把矩阵看成列或行向量组，那么说的既是向量组中最大无关子向量组的向量个数。这概念既然是极大概念。那么利用起来就是看增加一个向量就会线性相关了。
最大无关组，可以生成线性子空间，其维数就是秩。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

有向量组的秩；
有方程组的秩；
秩是说明空间维数的概念，也是极大无关组的数，
这个问题要具体而言